Le problème n°6 des Olympiades IMO 1988

1) Enoncé : a et b étant des entiers positifs tels que ab + 1 divise (a^2) +  (b^2), démontrer que le quotient, q = (k^2) (k entier), est un carré parfait.

On cherche quelques solutions simples :

li=Reduce[a^2+b^2==q(a b + 1) && 0<=a<b<=100000 && 0<q<20,{a,b,q},Integers]

On ordonne ces valeurs selon les valeurs croissantes de q :

SortBy[li,Last]

Une vérification parmi d’autres ((4^(ème)) solution) :

Les premiers couples qui produisent un quotient, q = 4 = (2^2) :

Table[SortBy[li,Last][[n]],{n,2,10}]

Une vérification parmi d’autres (a  = 30 et b = 112) :

(((30^2) + (112^2))/(30 112 + 1))

La récurrence satisfaite par les (Subscript[a, i]) successifs :

FindLinearRecurrence[{0,2,8,30,112,418,1560,5822,21728, 81090}]

La récurrence satisfaite par les (Subscript[b, i]) successifs (elle est identique car (Subscript[a, i+1])= (Subscript[b, i]) ) :

FindLinearRecurrence[{2,8,30,112,418,1560,5822,21728, 81090}]

En Mathematica, {u, v, ... } est la notation condensée des récurrences linéaires du type : (Subscript[c, i+1])= u (Subscript[c, i]) + v (Subscript[c, i-1]) + ...

LinearRecurrence[{4,-1},{0,2},10]             (*à l'endroit(en montant) avec les conditions initiales 0 et 2*)

LinearRecurrence[{4,-1},{81090,21728},10]       (*à l'envers (en descendant)*)

Cas général où le quotient q = (k^2) est un carré parfait quelconque . La récurrence se note  :  { (k^2) , -1}. Elle est reprise ci-dessous en notation explicite traditionnelle :

sol=RSolve[{s[i+1]==k^2 s[i]-s[i-1],s[-1]==0,s[0]==k},s[i], i]//FullSimplify

Si q = (2^2) = 4, on retrouve évidemment les valeurs déjà trouvées :

Table[s[i]/.sol[[1]],{i,-1,5}]/.k->2//FullSimplify

Si q = (3^2) = 9,  on trouverait :

Table[s[i]/.sol[[1]],{i,-1,5}]/.k->3//FullSimplify

On affiche les couples-solutions (a, b) lorsque q = (k^2) =  4, 9, 16, 25  en termes des fonctions de Tchebychev de deuxième espèce, U(n, z) :

Grid[Table[{(k ChebyshevU[i,k^2/2]),(k ChebyshevU[i+1,k^2/2])},{k,2,5},{i,0,4}]]

Formule récapitulative (q = (k^2) ):

Table[(((k ChebyshevU[i,k^2/2])^2 + (k ChebyshevU[i+1,k^2/2])^2 )/((k ChebyshevU[i,k^2/2])(k ChebyshevU[i+1,k^2/2])+1))==k^2,{k,2,5},{i,0,4}]

2) Variante du problème précédent.
Enoncé : a et b étant des entiers positifs tels que ab - 1 divise (a^2) +  (b^2), le quotient, q = vaut toujours 5.

On commence par chercher quelques solutions simples pour le couple (a, b) :

Reduce[a^2+b^2==q(a b - 1) && 0<=a<b<=100000 && 0<q<20,{a,b,q},Integers]

Première famille de solutions (sur deux existantes) :

solbis=RSolve[{s[i+1]==5 s[i]-s[i-1],s[-1]==1,s[0]==2},s[i], i]//FullSimplify

Table[s[i]/.solbis[[1]],{i,-1,5}]//FullSimplify

Formule compacte pour la première famille de solutions :

Table[ChebyshevU[n,5/2]- 3 ChebyshevU[n-1,5/2],{n,0,6}]

Deuxième famille de solutions (sur deux existantes) :

solter=RSolve[{s[i+1]==5 s[i]-s[i-1],s[-1]==1,s[0]==3},s[i], i]//FullSimplify

Table[s[i]/.solter[[1]],{i,-1,6}]//FullSimplify

Formule compacte pour la deuxième famille de solutions :

Table[ChebyshevU[i,5/2]- 2 ChebyshevU[i-1,5/2],{i,0,6}]

Formules récapitulatives :

Table[(((ChebyshevU[i,5/2]- 2 ChebyshevU[i-1,5/2])^2+(ChebyshevU[i+1,5/2]- 2 ChebyshevU[i,5/2])^2)/((ChebyshevU[i,5/2]- 2 ChebyshevU[i-1,5/2])(ChebyshevU[i+1,5/2]- 2 ChebyshevU[i,5/2])-1)),{i,0,6}]

Table[(((ChebyshevU[i,5/2]- 3 ChebyshevU[i-1,5/2])^2+(ChebyshevU[i+1,5/2]- 3 ChebyshevU[i,5/2])^2)/((ChebyshevU[i,5/2]- 3 ChebyshevU[i-1,5/2])(ChebyshevU[i+1,5/2]- 3 ChebyshevU[i,5/2])-1)),{i,0,6}]